Электрическая ёмкость

Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности аккумулировать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы (конденсатора), представленного в виде двухполюсника.

Электрическая ёмкость
$C$$C$
Размерность	L-2M-1T4I2
Единицы измерения
СИ	фарад
СГС	сантиметр

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, общепринятое обозначение ёмкости: $C$$C$.

Ёмкость рассчитывается как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между проводником и бесконечностью или между проводниками

$C=\frac{Q}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{ref}}$$C={\frac {Q}{\varphi -\varphi _{ref}}}$,

где $Q$$Q$ — заряд, $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ — потенциал проводника, ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{ref}$$\varphi _{ref}$ — потенциал другого проводника или потенциал на бесконечности (как правило, принимаемый за нуль).

Ёмкость зависит от геометрии и формы проводников и электрических свойств окружающей среды (её диэлектрической проницаемости).

Определение. Некоторые формулыПравить

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

$C=\frac{Q}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$C={\frac {Q}{\varphi }}$ ,

где $Q$$Q$  — заряд, $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — потенциал проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса $R$$R$  равна (в системе СИ):

$C=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{r}R,$$C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R,$ 

где ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0$$\varepsilon _{0}$  — электрическая постоянная (8,854⋅10⁻¹² Ф/м), ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r$$\varepsilon _{r}$  — относительная диэлектрическая проницаемость.

Вывод формулы Известно, что ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2={\int <!--\; \int \; -->}_1^{2}Edl\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}={\int <!--\; \int \; -->}_R^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}Edl=\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}{\int <!--\; \int \; -->}_R^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{q}{r^2}dr=\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}\frac{q}{R}.$$\varphi _{1}-\varphi _{2}=\int _{1}^{2}E\,dl\Rightarrow \varphi =\int _{R}^{\mathcal {\infty }}E\,dl={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\int _{R}^{\mathcal {\infty }}{\frac {q}{r^{2}}}\,dr={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{R}}.$  Так как $C=\frac{q}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$C={\frac {q}{\varphi }}$ , то подставив сюда найденный $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ , получим, что $C=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{r}R$$C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R$ .

Для системы из двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом и обладающих равными по числу, но противоположными по знаку зарядами $\pm <!--\; \pm \; -->Q$$\pm Q$ , ёмкость (взаимная ёмкость) определяется как отношение величины заряда к разности потенциалов проводников. Если принять потенциал одного из проводников за нуль, формула $C=Q/\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$C=Q/\varphi$  останется в силе и для этого случая.

Дискретный элемент электрической цепи на базе вышеописанной системы, обладающий значительной ёмкостью, называется конденсатором. Два проводника при этом именуются обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:

$C={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r\frac{S}{d}$$C=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\frac {S}{d}}$ ,

где $S$$S$  — площадь обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), $d$$d$  — расстояние между обкладками.

Электрическая энергия, запасённая конденсатором, составляет

$W=\frac{C{U}^2}{2}$$W={\frac {CU^{2}}{2}}$ ,

где $U$$U$  — напряжение между обкладками.

Обозначение и единицы измеренияПравить

Ёмкость принято обозначать большой латинской буквой $C$$C$  (от англ. capacitance — ёмкость, вместимость).

В системе единиц СИ ёмкость выражается в фарадах, сокращённо «Ф». Проводник обладает ёмкостью в один фарад, если при величине потенциала его поверхности один вольт этот проводник несёт заряд в один кулон. Один фарад — очень большая ёмкость, реальные проводники обладают ёмкостью порядка нано- или микрофарад. Название «Фарад» появилось в честь М. Фарадея.

Единицей измерения ёмкости в системе СГС выступает сантиметр. Соотношение: 1 см ёмкости ≈ 1,1126 пФ; 1 Ф = 8,988×10¹¹ см ёмкости.

Свойства ёмкостиПравить

• Ёмкость всегда положительна, за исключением случаев некоторых структур с сегнетоэлектриками.
• Ёмкость зависит только от геометрических размеров проводника и диэлектрических свойств среды (для конденсатора — заполняющего его материала изолятора).
• Ёмкость опосредованно зависит от температуры и частоты сигнала (через зависимость проницаемости среды ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r$$\varepsilon _{r}$  от соответствующих величин).
• В случае среды с постоянными значениями ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r$$\varepsilon _{r}$  ёмкость является константой, но в случае нелинейной среды, когда ${\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r$$\varepsilon _{r}$  зависит от напряжённости электрического поля, ёмкость будет изменяться с напряжением.
• Применительно к цепи синусоидального тока с частотой $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ , элементу «ёмкость» может быть приписано реактивное сопротивление $X_C={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}{C}^{-<!--\; -\; -->1}$$X_{C}=\omega ^{-1}C^{-1}$ .
• Напряжение на ёмкости не может изменяться скачком.

Дифференциальная ёмкостьПравить

Дифференциальной (малосигнальной) ёмкостью называется производная от заряда проводника по потенциалу

$C_{diff}=\frac{dQ}{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\approx <!--\; \approx \; -->\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}Q}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$C_{diff}={\frac {dQ}{d\varphi }}\approx {\frac {\Delta Q}{\Delta \varphi }}$ ,

которая определяется для выбранных условий $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}={\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0$$\varphi =\varphi _{0}$ . Эта величина характеризует реакцию проводника на малое изменение потенциала. Если зависимость заряда от потенциала линейна, то $C_{diff}=C$$C_{diff}=C$ , но на практике встречаются и более сложные случаи.

Широкое распространение получили измерения так называемых вольт-фарадных характеристик структур металл-диэлектрик-полупроводник — зависимостей $C_{diff}(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$C_{diff}(\varphi )$  при разных частотах $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  изменения потенциала со временем $t$$t$  по закону $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}={\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_0+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$\varphi =\varphi _{0}+\Delta \varphi \,\sin(\omega t)$ . Такие измерения дают ценную информацию о качестве диэлектрика.

Электрическая ёмкость некоторых системПравить

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇²φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля.

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)

Вид	Ёмкость	Комментарий
Плоский конденсатор	$\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}S}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}d}$${\frac {\varepsilon S}{4\pi d}}$	S: Площадь d: Расстояние
Два коаксиальных цилиндра	$\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}l}{\log <!--\; \; -->\left(R_2/R_1\right)}$${\frac {\varepsilon l}{\log \left(R_{2}/R_{1}\right)}}$	l : Длина R1: Радиус R${}_2$$_2$ : Радиус
Две параллельные проволоки	$\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}l}{4\mathrm{arcosh}<!--\; \; -->\left(\frac{d}{2a}\right)}=\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}l}{2\log <!--\; \; -->\left(\frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^2}{4a^2}-<!--\; -\; -->1}\right)}$${\frac {\varepsilon l}{4\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{2\log \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > 2a
Проволока параллельна стене	$\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}l}{2\mathrm{arcosh}<!--\; \; -->\left(\frac{d}{a}\right)}=\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}l}{4\log <!--\; \; -->\left(\frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^2}{a^2}-<!--\; -\; -->1}\right)}$${\frac {\varepsilon l}{2\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{4\log \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a l: Длина
Две параллельные копланарные полосы	$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}l\frac{K\left(\sqrt{1-<!--\; -\; -->k^2}\right)}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}K\left(k\right)}$$\varepsilon l{\frac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{4\pi K\left(k\right)}}$	d: Расстояние w1, w${}_2$$_2$ : Ширина полос km: d/(2wm+d) k2: k1k2 K: Эллиптический интеграл l: Длина
Два концентрических шара	$\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{\frac{1}{R_1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{R_2}}$${\frac {\varepsilon }{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}$	R1: Радиус R2: Радиус
Два шара одинакового радиуса	$\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}a}{2}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\sinh <!--\; \; -->\left(\log <!--\; \; -->\left(D+\sqrt{D^2-<!--\; -\; -->1}\right)\right)}{\sinh <!--\; \; -->\left(n\log <!--\; \; -->\left(D+\sqrt{D^2-<!--\; -\; -->1}\right)\right)}$${\frac {\varepsilon a}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$  $\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}a}{2}\left\{1+\frac{1}{2D}+\frac{1}{4D^2}+\frac{1}{8D^3}+\frac{1}{8D^4}+\frac{3}{32D^5}+O\left(\frac{1}{D^6}\right)\right\}$${\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{1+{\frac {1}{2D}}+{\frac {1}{4D^{2}}}+{\frac {1}{8D^{3}}}+{\frac {1}{8D^{4}}}+{\frac {3}{32D^{5}}}+O\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}$  $=\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}a}{2}\left\{\log <!--\; \; -->2+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\log <!--\; \; -->\left(\frac{d}{a}-<!--\; -\; -->2\right)+O\left(\frac{d}{a}-<!--\; -\; -->2\right)\right\}$$={\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{\log 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {d}{a}}-2\right)+O\left({\frac {d}{a}}-2\right)\right\}$	a : Радиус d: Расстояние, d > 2a D = d/2a γ: Постоянная Эйлера
Шар вблизи стены	$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}a\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\sinh <!--\; \; -->\left(\ln <!--\; \; -->\left(2D+\sqrt{D^2-<!--\; -\; -->1}\right)\right)}{\sinh <!--\; \; -->\left(n\ln <!--\; \; -->\left(2D+\sqrt{D^2-<!--\; -\; -->1}\right)\right)}$$\varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a D = d/a
Шар	$\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}a$$\varepsilon a$	a: Радиус
Круглый диск	$\frac{2\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}a}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$${\frac {2\varepsilon a}{\pi }}$	a : Радиус
Тонкая прямая проволока, ограниченная длина	$\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}l}{2\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}\left\{1+\frac{1}{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}\left(1-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->2\right)+\frac{1}{{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^2}\left[1+{\left(1-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->2\right)}^2-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{12}\right]+O\left(\frac{1}{{\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}^3}\right)\right\}$${\frac {\varepsilon l}{2\Lambda }}\left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\left[1+\left(1-\ln 2\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]+O\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}$	a: Радиус проволоки l: Длина Λ: ln(l/a)

ЭластансПравить

Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ.

См. такжеПравить

• Квантовая ёмкость

ЛитератураПравить

• Боргман И. И.,. Электроёмкость // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Савельев И.В. Глава X. Движение заряженных частиц. // Курс общей физики. — 3. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — Т. 2. — С. 87—88. — 496 с. — 220 000 экз.
• Г. Крон. Тензорный анализ сетей. — Москва: Сов. радио, 1978. — 720 с.